数量关系

本文最后更新于：2020年12月11日下午

数量关系：主要测查应试人员理解、把握事物间量化关系和解决数量关系问题的能力，涉及数据关系的分析、推理、判断、运算等。常见的题型有：数字推理、数学运算等。

一：几大特性(代入排除、数字特性、方程法等)

1.1 代入排除

使用范围
1. 典型题：年龄、余数、不定方程、多位数
2. 看选项：选项为一组数或可转化为一组数
3. 剩两项：只剩两项时，代入一项即可得答案
4. 超复杂：题干长、主体多、关系乱
方法
1. 先排除：尾数法、奇偶、倍数
2. 再代入：最值、好算

1.2 奇偶特性

使用范围
1. 知和求差、知差求和
2. 不定方程–一般优先考虑奇偶性
3. A是B的2倍，将A分成两份。 A为偶数
4. 质数：逢质必2
方法
1. 和差：同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇
2. 积：一偶则偶，全奇为奇。

1.3 倍数特性

使用范围
1. 分数、百分数、比例、倍数
2. 物品平均分配
方法
1. $\frac{A}{B} = \frac{m}{n}$
  1. $若 \frac{A}{B} = \frac{m}{n}, 则 \frac{A}{B} = \frac{m}{n} = \frac{A \pm m}{B \pm n}$
2. 整除判定
  1. 拆分(普遍适用)
    1. 看是否A的倍数，将A拆分为A的整数倍的一个数字a±一个小的数字b，若b也能被A整除，则原数能被A整除。
  2. 口诀
    1. 3/9，各位之和能被3或9整除，则是倍数
    2. 4(末2位)/8(末3位)，能被4/8整除，则是倍数
    3. 2(偶数)/5(0,5)
    4. 7：一个数个位截掉，余下的数减个位数的2倍，若差是7的倍数，能被7整除。
  3. 因式分解(复杂倍数用)
    1. 将一个数分解为互质的两个数。
    2. 如：判断能否被45整除，只要判断它是9和5的倍数即可

1.4 方程法

普通方程
1. 设未知数
  1. 设小不设大(避免分数)
  2. 最大信息化(方便列式)，即设中间量
  3. 设谁求谁(避免陷阱)
2. 列方程
  1. 共、是、比、相等
3. 解方程
  1. 约分：如3600=400x+800y
  2. 消元：求谁留谁
不定方程
1. 奇偶特性： a、b系数一奇一偶
2. 倍数特性： a、b系数与常数有公因子
  1. $9 x + 7 y = 81$
  2. $9 n / 9 (m - n) / 9 m$
3. 尾数特性： a、b系数尾数为5或0
4. 代入排除：无法运用上述特性
赋零法
1. 范围： ①未知数可以非整数②求算式而非单一未知数
2. 方法：设某个未知数为零，再求其他未知数

1.5 乘方尾数

口诀：底数留个位，指数除4留余数，余数为0转为4.

例： $2008^{2008} + 2009^{2009}$ 的个位数是？

答： $2008 mod 4 = 0 ，则可转化为 8^{4} + 9^{1} ， 8 \times 8 = 64 ， 4 \times 8 = 32 ， 2 \times 8 = 16 ， 6 + 9 = 15 ，个位数是 5$

1.6 数列(等差、等比)

1.6.1 等差数列

公差用字母 $d$ 表示，等差数列的通项公式为:
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

求和公式为：
$S_{n} = n a_{1} + \frac{n (n - 1)}{2} d =平均数 \times 项数=中位数 \times 项数$

1.6.2 等比数列

通项公式： $a_{n} = a_{1} q^{n - 1} = a_{m} q^{n - m}$

求和公式： $S_{n} = \frac{a_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}$

等比中项：如果a，b，c成等比数列，则b叫做a与c的等比中项，有： $b^{2} = a c$ 。

二：几大题型

2.1 数字推理

基础数列
1. 等差、等比
2. 质数数列
3. 平方立方数列
4. 周期数列
5. 简单递推数列
多重数列
1. 特征：项数≥7项
2. 方法：先交叉(22交叉，奇偶交叉，三三分)再分组
分数数列
1. 约分
2. 先分开看，再一起看，观察趋势
做商数列
幂次数列
1. $64 = 8^{2} = 2^{6} ； 81 = 9^{2} = 3^{4}$
多级数列
递推数列
1. 两两做和

2.2 容斥原理

公式
1. $A + B - A \cap B =总数 - 都不$
2. $A + B + C - A \cap B - A \cap C - B \cap C + A \cap B \cap C =总数 - 都不$
3. $A + B + C - 只满足两个 - 只满足三个 \times 2 =总数 - 都不$
4. $A + B + C =只满足一个 + 只满足两个 \times 2 + 满足三个 \times 3$
5. $只 2 = A \cap B + B \cap C + A \cap C - 3 \times 只 3$
画图
1. 画圈圈，标数据，去重复
2. 交叉部分重点标注

2.3 工程问题

赋值总量型
1. 识别：题干只给了多个完工时间
2. 方法：赋值总量–算出效率–列式求解
3. 技巧：总量一般设公倍(用短除法求最小公倍数和最大公约数)，公倍难算用乘积
赋值效率型
1. 识别：题干给出了效率比、效率倍数等
2. 方法：赋值效率–求出总量–列式求解
3. 技巧：按照比例设效率，设值尽量设整数
给具体值型
1. 识别：题干有效率、总量的具体值(设小不设大，设中间量)
2. 方法：代公式–列方程求解(方程往往有整除、倍数关系)

2.4 经济利润问题

基础公式
1. $利润=售价 - 成本$
2. $利润率=利润 \div 成本；售价=成本 \times (1 + 利润率)$
分段计算
1. 水电费、出租车费、税费等
2. 每段费用分别计算，求和后为总费用
合并付费
1. 先分开买，再合并买，问省了多少钱？
2. 答： $便宜的那件商品的原价 \times 折扣差$

2.5 概率

概率=满足所有的情况数÷所有的情况数
分类用加法，分步用乘法
正难反易： $1 - 反面情况概率$

2.6 排列组合

概念
1. 分类用加法(要么……要么……)
2. 分步用乘法(先……再……)
3. 有序用排列 $A_{n}^{m}$ (不可互换)
4. 无序用组合 $C_{n}^{m}$ (可以互换)
  1. $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$
题型
1. 相邻
  1. 捆绑法：先捆再排
  2. 把相邻的元素捆绑起来，注意內部有无顺序
2. 不相邻
  1. 插空法：先插再排
  2. ①先安排可以相邻的元素，形成若干空位；②再将不相邻的元素插入空位中
3. 凑数字
  1. 枚举法：按序枚举
4. 插板法
  1. 将N个相同元素分给M个人，每人至少一个，共有 $C_{n - 1}^{m - 1}$ 种情况
5. 错位排列(不回原位)
  1. 个数： $1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6$
  2. N种： $0 、 1 、 2 、 9 、 44 、 265$

2.7 植树问题

所谓植树问题就是要理清间隔数量与端点之间的关系。

两端栽树，棵树比段数多1，棵树=线路总长÷株距+1；
一端栽树，棵树与段数相等，棵树=线路总长÷株距；
两端都不栽树，棵树=段数-1，棵树=线路总长÷株距-1；
两边植树需要在1条路的基础上乘以2；
封闭型植树，棵树=线路总长÷株距=总段数；
类似于“两端不植树”的还有“上楼梯问题”、“锯木头、剪绳子”、“站成一列”问题，上到N楼用M分钟，则上每层楼用M/(N-1)分钟，其余同理。

PS：剪绳问题公式： $2^{N} \times M + 1 (一根绳子连续对折 N 次，剪 M 刀，问绳子被剪成几段？)$

2.8 鸡兔同笼

核心公式：

鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)
兔数=(总脚数-鸡脚数×总头数)÷(兔脚数-鸡脚数)

问：已知鸡兔同笼，共35只，脚共94只，求鸡和兔的个数。

答：方程法略。假设法：假设35只都是鸡，则有脚35×2=70只，每一只鸡换成兔就多2只脚。故共有兔子12只，鸡23只。

**总结：先假设全部是某一种，然后求出的值与实际值的差值除以他们单个的差值，得出来的是另一种。(假设鸡得出兔，假设兔得出鸡)**。

2.9 牛吃草问题

2.10 过河问题和空瓶换水

一条船只能运送N人，现在M个人过河，问几次过完？答：共需 $\frac{M - 1}{N - 1}$ 次。

N个空瓶换一瓶水，已有M个空瓶，问可以换几瓶水？答： $\frac{M}{N - 1} (舍弃小数取整)$ 个

2.11 日期、年龄问题

公考数量关系

公考

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